Wat is verwachtingswaarde in wiskunde?

Wat is Verwachtingswaarde in Wiskunde?

In het domein van de wiskunde is verwachtingswaarde een concept dat het gemiddelde resultaat van een stochastische variabele beschrijft, met andere woorden, een variabele waarvan de waarden willekeurig zijn en bepaald worden door een kansverdeling.

Definitie

De verwachtingswaarde van een stochastische variabele X, genoteerd als E(X), is het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten van X, waarbij de kansen op deze uitkomsten als gewichten fungeren.

Wiskundige Formule

Voor een discrete stochastische variabele X met kansfunctie p(x) is de verwachtingswaarde gegeven door:

E(X) = ∑[x * p(x)] voor alle x

Voor een continue stochastische variabele X met kansdichtheidsfunctie f(x) is de verwachtingswaarde gegeven door:

E(X) = ∫[-∞, ∞][x * f(x)] dx

Interpretatie

De verwachtingswaarde geeft aan wat de gemiddelde waarde is die de stochastische variabele zal aannemen na herhaaldelijke waarnemingen. Het is een maat voor de centrale tendens van de kansverdeling.

Eigenschappen

• Een constante heeft een verwachtingswaarde gelijk aan zichzelf.
• De verwachtingswaarde van een som van stochastische variabelen is gelijk aan de som van de verwachtingswaarden van de afzonderlijke variabelen.
• De verwachtingswaarde van een product van twee onafhankelijke stochastische variabelen is gelijk aan het product van de verwachtingswaarden van de afzonderlijke variabelen.

Toepassingen

Verwachtingswaarde heeft brede toepassingen in verschillende gebieden, waaronder:

• Statistiek: Berekening van gemiddelde uitkomsten
• Risicoanalyse: Beoordeling van verwachte verliezen
• Kwaliteitscontrole: Monitoren van productieprocessen
• Besluitvorming: Afwegen van voor- en nadelen in situaties met onzekerheid