Wat is de verwachte waarde van een stochastische variabele?

Wat is de verwachte waarde van een stochastische variabele?

In de kansleer is een stochastische variabele een numerieke variabele waarvan de waarde afhangt van de uitkomst van een kans-experiment. De verwachte waarde van een stochastische variabele is een belangrijke eigenschap die een gemiddelde waarde weergeeft voor de variabele.

Definitie:

De verwachte waarde van een discrete stochastische variabele X met kansfunctie P(X) wordt gegeven door:

E(X) = Σ(x * P(X = x))

Hierbij is de som over alle mogelijke waarden van x.

Voor een continue stochastische variabele X met kansdichtheidsfunctie f(x) wordt de verwachte waarde gegeven door:

E(X) = ∫(-∞, ∞) (x * f(x)) dx

Interpretatie:

De verwachte waarde is een gewogen gemiddelde van alle mogelijke waarden van de stochastische variabele, waarbij elke waarde wordt gewogen door de kans op optreden. Het geeft het gemiddelde resultaat weer dat je zou verwachten als je het experiment een groot aantal keren zou uitvoeren.

Voorbeeld:

Stel dat we een dobbelsteen gooien en de stochastische variabele X is het aantal ogen dat naar boven wijst. De kansfunctie is gegeven door:

P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = P(X = 6) = 1/6

De verwachte waarde is dan:

E(X) = Σ(x * P(X = x)) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3,5

Dit betekent dat als we de dobbelsteen een groot aantal keren zouden gooien, we een gemiddeld aantal ogen van 3,5 zouden verwachten.

Belang:

De verwachte waarde is een fundamenteel concept in de kansleer en wordt gebruikt in een breed scala van toepassingen, waaronder:

• Het bepalen van de gemiddelde waarde van een variabele
• Het modelleren van gemiddelde resultaten in statistische onderzoeken
• Het evalueren van risico's en beloningen in besluitvorming