Hoe vind je een punt op een cirkel als het middelpunt en de straal gegeven zijn?

Een punt vinden op een cirkel: een stap-voor-stap gids

Stel je voor: je hebt een cirkel met een bekend middelpunt en een straal. Je wil graag een punt op die cirkel vinden. Gelukkig is dat met wat basiswiskunde helemaal niet zo moeilijk! In dit artikel leggen we je stap voor stap uit hoe je een punt op een cirkel kunt vinden.

De basis:

• Middelpunt: We beginnen met het middelpunt van de cirkel, dat we noteren als (h, k). Dit is het punt waar alle punten op de cirkel gelijk ver van vandaan liggen.
• Straal: De straal (r) van de cirkel is de afstand van het middelpunt naar elk punt op de cirkel.

De meest linkse en rechtse punten:

• De meest linkse en rechtse punten op de cirkel liggen op de x-as.
• Om deze punten te vinden, trekken we de straal af van de x-coördinaat van het middelpunt (h) voor het linkse punt, en tellen we de straal op bij de x-coördinaat van het middelpunt (h) voor het rechtse punt.
• Dit geeft ons de punten (h-r, k) en (h+r, k).

Een willekeurig punt vinden:

• Elk ander punt (x, y) op de cirkel voldoet aan de volgende vergelijking:
  (x−h)² + (y−k)² = r²
• Deze vergelijking wordt de cirkelvergelijking genoemd.
• Om een willekeurig punt (x, y) op de cirkel te vinden, moeten we een x-coördinaat kiezen die binnen het bereik [h-r, h+r] ligt.
• Zodra we een x-coördinaat hebben gekozen, kunnen we de y-coördinaat berekenen met behulp van de cirkelvergelijking.

Voorbeeld:

Stel het middelpunt van de cirkel is (2, 3) en de straal is 5. Dan zijn de meest linkse en rechtse punten:

• Linkse punt: (2 – 5, 3) = (-3, 3)
• Rechtse punt: (2 + 5, 3) = (7, 3)

Laten we nu een willekeurig punt op de cirkel vinden, met een x-coördinaat van 4:

1. Cirkelvergelijking: (x−2)² + (y−3)² = 5²
2. Invullen van x: (4−2)² + (y−3)² = 5²
3. Vereenvoudigen: 2² + (y−3)² = 25
4. Oplossen voor y: (y−3)² = 21
   • y−3 = √21 of y−3 = -√21
   • y = 3 + √21 of y = 3 – √21

Dus, de twee punten op de cirkel met x-coördinaat 4 zijn (4, 3 + √21) en (4, 3 – √21).

Conclusie:

Met behulp van de cirkelvergelijking en de kennis van het middelpunt en de straal van de cirkel, kun je eenvoudig elk punt op de cirkel vinden. Deze kennis is waardevol voor diverse toepassingen, zoals het plotten van cirkels in een grafiek, het bepalen van de locatie van een object in een cirkelvormige baan, of het analyseren van cirkelvormige structuren in verschillende disciplines.