Is de verwachte waarde het gemiddelde in waarschijnlijkheid?

Is de verwachte waarde hetzelfde als het gemiddelde in de waarschijnlijkheidsrekening?

De vraag of de verwachte waarde gelijk is aan het gemiddelde in de waarschijnlijkheidsrekening is complexer dan een simpel ja of nee. Het korte antwoord is: in essentie wel, maar met belangrijke nuances.

De verwachte waarde, E(X), van een discrete stochastische variabele X is inderdaad een maat voor het gemiddelde resultaat op de lange termijn. Zoals de inleiding al aangeeft, vertegenwoordigt het het gemiddelde dat je zou observeren als je het experiment oneindig vaak zou herhalen. Dit is sterk gerelateerd aan het empirisch gemiddelde, dat je berekent door de uitkomsten van een eindig aantal experimenten bij elkaar op te tellen en te delen door het aantal experimenten.

Het verschil zit hem in de interpretatie en de manier van berekening. De verwachte waarde is een theoretische waarde, berekend uit de kansverdeling van de stochastische variabele. Je hebt de kansverdeling nodig om E(X) te berekenen. Voor een discrete variabele X met mogelijke uitkomsten x₁ , x₂, ..., xₙ en bijbehorende kansen P(X=x₁), P(X=x₂), ..., P(X=xₙ), wordt de verwachte waarde berekend als:

E(X) = x₁ P(X=x₁) + x₂ P(X=x₂) + ... + xₙ * P(X=xₙ)

Het empirisch gemiddelde daarentegen, is een statistische waarde, berekend uit de daadwerkelijke waarnemingen van een experiment. Je hebt geen kennis van de kansverdeling nodig om het empirisch gemiddelde te berekenen; je hebt alleen de waargenomen data.

Bij een groot aantal herhalingen van het experiment zal het empirisch gemiddelde naar de verwachte waarde convergeren, dit is de essentie van de wet van de grote aantallen. Met andere woorden: hoe meer experimenten je uitvoert, hoe dichter het empirisch gemiddelde bij de verwachte waarde zal komen te liggen.

Voorbeeld:

Stel je gooit een eerlijke dobbelsteen. De verwachte waarde is:

E(X) = (1 1/6) + (2 1/6) + (3 1/6) + (4 1/6) + (5 1/6) + (6 1/6) = 3.5

Als je de dobbelsteen maar een paar keer gooit, zal het empirisch gemiddelde waarschijnlijk afwijken van 3.5. Gooi je hem echter honderden of duizenden keren, dan zal het empirisch gemiddelde steeds dichter bij 3.5 komen.

Conclusie:

De verwachte waarde is de theoretische equivalent van het gemiddelde, voorspeld op basis van de kansverdeling. Het empirisch gemiddelde is de daadwerkelijke gemiddelde waarde, berekend uit observaties. Hoewel ze verschillend zijn in hun berekening en interpretatie, zijn ze nauw verwant, met het empirisch gemiddelde dat convergeert naar de verwachte waarde bij een oneindig aantal experimenten. In de praktijk gebruiken we de verwachte waarde vaak als een schatting voor het gemiddelde dat we in de realiteit zouden observeren.