Is de verwachte waarde altijd het gemiddelde?

Is de verwachte waarde altijd het gemiddelde?

In de wiskunde en statistiek is de verwachte waarde een belangrijk concept dat de gemiddelde winst of uitkomst van een willekeurige gebeurtenis vertegenwoordigt. Vaak wordt aangenomen dat de verwachte waarde gelijk is aan het gemiddelde, maar dit is niet altijd het geval.

Definitie van verwachte waarde

De verwachte waarde van een willekeurige variabele X, genoteerd als E(X), wordt berekend als het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten xi, waarbij elk resultaat wordt vermenigvuldigd met de kans pi dat het zich voordoet:

E(X) = Σ(xi * pi)

waar:

• xi is de i-de mogelijke uitkomst
• pi is de kans dat xi zich voordoet

Voorbeeld

Beschouw een dobbelsteenworp. De mogelijke uitkomsten zijn 1, 2, 3, 4, 5 en 6, en elke uitkomst heeft een kans van 1/6.

De verwachte waarde van een dobbelsteenworp is:

E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3,5

Dit betekent dat we op lange termijn gemiddeld 3,5 ogen verwachten te gooien bij een dobbelsteenworp.

Verwachte waarde versus gemiddelde

Het gemiddelde van een dataset is de som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden. Voor een willekeurige variabele X met een gegeven kansverdeling is het gemiddelde gegeven door:

Gemiddelde = Σ(xi * pi)

Zoals je kunt zien, is de formule voor het gemiddelde identiek aan de formule voor de verwachte waarde. Dit betekent dat voor een willekeurige variabele met een discrete kansverdeling de verwachte waarde altijd gelijk is aan het gemiddelde.

Wanneer de verwachte waarde verschilt van het gemiddelde

Voor een willekeurige variabele met een continue kansverdeling kan de verwachte waarde echter verschillen van het gemiddelde. Een continue kansverdeling heeft een onbepaald aantal mogelijke uitkomsten, en de kans dat een bepaalde uitkomst zich voordoet, is oneindig klein.

In deze gevallen wordt de verwachte waarde gegeven door een integraal over de kansdichtheidsfunctie van de willekeurige variabele. Het gemiddelde wordt nog steeds berekend als de som van alle uitkomsten vermenigvuldigd met hun kansen, maar omdat de kansen oneindig klein zijn, zal de som oneindig worden.

Conclusie

Hoewel de verwachte waarde en het gemiddelde vaak gelijk zijn, zijn ze niet altijd identiek. Voor discrete willekeurige variabelen zijn de twee waarden altijd gelijk, maar voor continue willekeurige variabelen kan de verwachte waarde verschillen van het gemiddelde. Het is belangrijk om dit verschil te begrijpen, vooral bij het analyseren van gegevens uit experimenten of simulaties.